Tugas Kuliah: Januari 2019

BINOMIAL

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

contoh soal
Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?

Jawab :

p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4

Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x

b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 – 2)= 0,0975

Analisis :

Dengan jumlah 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah televisi dan rata – rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil (hanya 9,75%) yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian.

RATA – RATA dan RAGAM DISTRIBUSI BINOMIAL

Rata – rata μ = n . p

Ragam σ2 = n . p . q

n : ukuran populasi

p : peluang berhasil dalam setiap ulangan

q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Percobaan Bernoulli dapat menghasilkan suatu sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p. Maka distribusi probabilitas variabel acak binomial X, jumlah sukses di dalam n percobaan diberikan oleh

$b(x;n,p)= \binom{n}{x} p^xq^{n-x}, \quad x=0,1,2,3, \dots ,n$

Ada kalanya perhitungan probabilitas distribusi binomial lebih mudah dilakukan dengan menggunakan distribusi kumulatif. Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka distribusi binomial kumulatif $P(X \ge r)$ dinyatakan sebagai:

$P(X \ge r)=b(r;n,p)+b((r+1);n,p))+ \dots +b(n;n,p)= \sum \limits_{x=r}^n b(r;n,p)$

Suatu syarat terpenting dalam suatu distribusi probabilitas adalah nilai

, untuk suatu x yang terbesar. Ingat kembali bahwa salah satu sifat

, yaitu

untuk x menuju $- \infty$ dan

untuk x menuju $+ \infty$ .

Dengan kata lain, pada distribusi binomial harus memenuhi

, untuk

$\sum \limits_{x=0}^n b(x;n,p)=1$

Bukti :

Menurut definisi distribusi binomial, $b(x;n,p)= \binom{n}{x} p^xq^{n-x}, \quad x=0,1,2,3, \dots ,n$

Sehingga,

$\sum \limits_{x=0}^n b(x;n,p)= \binom{n}{0}p^0q^{n-0}+ \binom{n}{1}p^1q^{n-1}+ \dots + \binom{n}{n}p^nq^{n-n}$

Bentuk terakhir adalah sama dengan bentuk binomial newton, yang sama dengan

Peluang sukses ditambah peluang gagal suatu kejadian sama dengan 1. Ingat, distribusi yang kita bicarakan hanyalah mempunyai peluang gagal atau sukses. Jadi, nilai

. Selanjutnya kita substitusikan nilai ini ke dalam bentuk yang terkhir, yaitu

. Sehingga diperoleh

Ini mengimplikasikan bahwa

$\binom{n}{0}p^0q^{n-0}+ \binom{n}{1}p^1q^{n-1}+ \dots + \binom{n}{n}p^nq^{n-n}=1$

Dan mengimplikasikan

$\sum \limits_{x=0}^n b(x;n,p)=1$

Terbukti

Contoh 1

Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap uji-kejut adalah $\frac{3}{4}$ . Carilah probabilitas dimana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan bertahan.

Penyelesaian:

Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan $p= \frac{3}{4}$ untuk masing-masing dari keempat pengujian tersebut, kita dapatkan x=2

sumber:

http://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_binomial

http://cyber-learn.blogspot.com/2008/09/modul-distribusi-binomial.html

http://asimtot.wordpress.com/2010/10/26/distribusi-binomial/

http://jump-red.blogspot.com/2012/05/distribusi-binomial.html

Tugas Kuliah

Jumat, 25 Januari 2019

Binomial

Tugas Prinsip Dasar Antarmuka

Laporkan Penyalahgunaan